Algotaf cartographie mentale

Ensembles binaires algébriques

Conjonction ensemblistes

La conjonction est représentée par l'intersection des ensembles et s'écrit en algèbre de Boole $Y \in A \cap B \cap C$ .

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Fonctions binaires

On appelle variable ou fonction binaires, toute variable ou toute fonction ne pouvant prendre que l'une des deux valeurs algébriques distinctes $a\ne b$ , à l’exclusion de toute autre.

L'ensemble « $E_{ab}$ » des variables et des fonctions ainsi définies est appelé ensemble binaire algébrique.

Le choix de l'ensemble $E_{01}$ se justifie par l'adoption d'une valeur d'absorption « $0$ » et d'une valeur neutre « $1$ » qui font du produit algébrique une fonction binaire appartenant au même ensemble.

$\overline{x}=1-x$

Produit

Les expressions conjonctives sont utilisées dans différents contextes : pour les commentaires, dans les évaluations d'expressions, dans la fabrication des ordinateurs notamment dans les unités centrales…

Conjonction en programmation

...
01 coup = 1
02 while /* secret pas devine et coup < 3 */
03

Conjonction en logique

Une assertion conjonctive est de la forme : $P$ et $Q$ . Nous écrivons $PQ$ ou $P{\centerdot}Q$ , ce que certains auteurs notent : $P\wedge Q$ , $P\small{\&\&}Q$ ou $P$ and $Q$ .

Supposons qu'une telle proposition, par exemple dans le programme ci-dessus « Le secret n'est pas deviné et l'on a fait moins de 3 essais » soit vraie. L'usage habituel de la conjonction « et » est tel que nous entendons que, d'une part, « Le secret n'est pas deviné » et, d'autre part, « on a fait moins de 3 essais » sont toutes deux des assertions vraies. Ceci conduit à poser les règles d'élimination suivantes :

$\begin{tabular}{c|llcc|ll} \multicolumn{7}{c}{\bfseries R\`{e}gle .e}\\ n & $P{\centerdot}Q$ & & & n & $P{\centerdot}Q$ & \\ \cline{2-2} \cline{6-6} & \ldots & & & \ldots & &\\ m & $P$ & n, .e & $\quad$ et $\quad$ & m & $Q$ & n, .e \\ % m & $P$ & n, .e & & & & \\ \end{tabular}$

À la ligne 04, nous faisons l'hypothèse $P{\centerdot}Q$ , « secret pas devine et coup < 3 », donc à la ligne 10, nous pouvons éliminer $Q$ et écrire l'assertion « code pas devine' ».

Cela tombe sous le sens. Inversement d'ailleurs, dans le cas où l'on sait que deux assertions $P$ et $Q$ sont vraies séparément, nous sommes disposés à affirmer que la proposition conjonctive $P{\centerdot}Q$ est aussi vraie. D'où la règle d'introduction :

$\begin{tabular}{c|ll} \multicolumn{3}{c}{\bfseries R\`{e}gle .i}\\ n & $P$ & \\ m & $Q$ & \\ & \ldots & \\ & $P{\centerdot}Q$ & n, m, .i \\ \end{tabular}$

Conjonction en algèbre binaire

Soit $n$ fonctions binaires $f_1, f_2, \ldots f_n$ telles que $f_i \in E_{01}, \forall i \in [1, 2, \ldots n]$ , le produit algébrique de ces $n$ fonctions appartient à l'ensemble $E_{01}$ .