Prenons racine.

Calcul des racines carrées par soustractions successives.

Soit à calculer la racine carrée de 601,8753.

Comme au bon vieux temps, on sépare en tranches de 2 chiffres
à gauche et à droite en partant de la virgule. : 6.01,87.63.

On prend l apremière tranche, c'est à dire 6, et on soustrait
tous les nombres impairs consécutifs, tant qu'on peut :
6 -1 = 5 ; 5 - 3 = 2
et c'est tout : on ne peut soustraire le nombre impair suivant,
qui serait 5.

Combien de nombres impairs avons-nous ainsi pu soustraire ?
Réponse : 2.

On écrit ce 2 dans un coin, et...
on abaisse la deuxième tranche (01) à côté du 2 qui restait de la première.
Cela donne 201. On soustrait, comme tout à l'heure,
les nombres impairs consécutifs mais en commençant par 41.
Pourquoi 41 ? Parce que le dernier nombre impair utilisé était 3,
3 + 1 = 4, donc 4 dizaines et une unité.

On a le calcul suivant :

201 -41 = 160 ; 160 - 43 = 117 ; 117 - 45 = 72 ; 72 - 45 = 25 .

C'est fini au bout de 4 soustractions.
On garde ce 4 en mémoire, après le 2 ci-dessus,
puis on abaisse la tranche suivante, 87, et on soustrait les nombres impairs
qui se suivent à partir de 47 + 1 48 dizaines et une unité soit 481.
Et ainsi de suite.
2587 - 481 = 2106 ; 2106 - 483 = 1623 ; 1623 -485 = 1138 ;
1138 - 487 = 641 ; 651 - 489 = 162 
le nouveau chiffre est donc 5.

16253 - 4901 = 11352 ; 11352 - 4903 = 6449 ; 6449 - 4005 = 1544 ;
soit le chiffre 3.

Et alors, direz-vous ? On a fait 14 soustractions, et c'est tout.
Où est la racine carrée dans tout cela ?

Eh bien, elle est là, sous vos yeux :
racine (601,8753 = 24,53...

Et justement, vous l'avez trouvée en ne faisant que des soustractions.
Et si vous n'êtes pas fatigué, vous pouvez continuer, abaisser la
tranche suivante 00 à la suite du dernier reste 1544, et ainsi
obtenir un résultat avec le degré de précision que vous pouvez souhaiter.

Vous pouvez aussi vous poser des questions : que représente 1544,
(ou plutôt 0,1544 si l'on remet la virgule à sa place ) ?
Et enfin : comment marche ce procédé ?

Référence "Le petit Archimède".